Smontare il tripode

questa pagina contiene equazioni!

Qui si parla di una quantità q(t) estratta o consumata al tempo t di una risorsa, di cui è disponible in totale una quantità finita non rinnovabile Q. Ad esempio il petrolio. O l'uranio...
E se ne fa qualche considerazione basata su un modello concettuale, ovvero un modello che non serve a fornire previsioni precise e neanche descrizioni dettagliate, ma a focalizzare l'attenzione sul funzionamento di un elemento dinamico (che si ritiene) fondamentale: quello della dinamica estrattiva, in questo caso.
L'evoluzione nel tempo della quantità estratta, q (a volte si dice "prodotta", ma in realtà non è fabbricata: è estratta, ovvero consumata), è data dall'equazione:

In questa equazione differenziale (una forma dell'equazione logistica), la velocità di estrazione è data dalla somma di un termine lineare, proporzionale a q, e un termine quadratico, proporzionale al quadrato di q.
Il termine lineare, che determina crescita esponenziale, indica in effetti che la velocità di estrazione, a un certo istante, è proporzionale, secondo la costante di tempo , alla quantità che è stata estratta fino a quel momento. In pratica questa ipotesi significa, nel caso del petrolio, che ogni goccia di petrolio estratta determina ulteriore estrazione. Ovvero che ogni motore, ogni caldaia che brucia petrolio permette la costruzione di altri motori e altre caldaie, che bruceranno altro petrolio in futuro. In sintesi: più se ne estrae, più se ne estrarrebbe...
... se non ci fosse anche il termine quadratico che determina saturazione: la quantità totale disponibile è Q, e solo quella si può estrarre.

La soluzione si trova facilmente:

dove al tempo t=0 è stata estratta una quantità, evidentemente minore di. I limiti sono:e.
La derivata nel tempo, la ``produzione'' (ovvero la velocità di estrazione, cioè la quantità estratta nell'unità di tempo), ha un massimo, detto il picco di Hubbert, quando, poi decresce.
Definisco l'esaurimento della risorsa quandoraggiunge una frazionedi , diciamo il 90%, o il 99%. Sostituiscoal posto die risolvo per. Ne ricavo il tempo di esaurimento, :

Ora immagino che al tempo, quando, venga scoperto un nuovo giacimento della risorsa, che rende disponibile una quantità pari a una frazione, diciamo, del totale . Dal momento della scoperta in poi, ovvero per, la soluzione diventa:

L'esaurimento ora, dopo la scoperta, si ha quandoraggiunge la frazionedel nuovo totale,. Come prima, sostituiscoal posto die risolvo per. Ne ricavo il nuovo tempo di esaurimento, :

La differenza tra i tempi di esaurimento dovuta alla scoperta di un nuovo giacimento è:

La differenza tra i tempi di esaurimento non dipende da, ovvero non dipende dalla frazione che scelgo per definire l'esaurimento.
Dipende invece da, ovvero da quanto è grande il nuovo giacimento scoperto, e dalla costante di tempo, ovvero dalla rapidità di consumo della risorsa,.
Supponiamo che la scoperta avvenga quando si suppone di aver consumato metà del totale,, ovvero in corrispondenza del picco di "produzione".
In questo caso la differenza è:

Ora immagino , cioè immagino di avere scoperto "El Oleado", un giacimento favoloso, pari addirittura a , la quantità totale disponibile stimata in precedenza. Il nuovo giacimento, "El Oleado", è pari al doppio di quello che pensavo fosse rimasto!
Allora la differenza tra i tempi di esaurimento è:

in pratica la differenza tra i tempi di esaurimento è la costante di tempo!
Cosa significa? Ad esempio, se definisco, ovvero dichiaro l'esaurimento quando arrivo al 90% del totale, allora il tempo di esaurimento, stimato prima di scoprire "El Oleado", è:

Invece, dopo la scoperta del favoloso El Oleado, il tempo di esaurimento diventa:

In sintesi: se ora trovo il DOPPIO di quello che pensavo ci fosse, rimando l'esaurimento della METÀ () del tempo che avevo stimato ().
Se per esempio ho stimato di arrivare al 90% in 30 anni (ovvero ) e scopro un nuovo favoloso giacimento, El Oleado, pari a tutto quello che pensavo di avere in origine, ovvero il doppio di quello che pensavo mi fosse rimasto, ebbene arrivo al 90% del nuovo totale in 45 anni.
Se anche gratto il fondo del barile (ehm) e definisco l'esaurimento a, cioè dichiaro l'esaurimento quando arrivo al 99% del totale, allora, prima della scoperta di El Oleado, il tempo di esaurimento è stimato:

Vale a dire, usando lo stesso , che se non trovo niente di nuovo arrivo al 99% del totale in meno di 65 anni. Se invece trovo il nuovo favoloso giacimento, El Oleado, arrivo all'esaurimento sempre 15 anni dopo: la differenzanon dipende da .

In definitiva non mi pare azzardato affermare che eventuali nuove scoperte di risorse non rinnovabili non risolvono nulla.

Ciò che può davvero allungare i tempi di esaurimento non è la scoperta di nuovi giacimenti, è un aumento di: ossia una riduzione del consumo,.

Figura: Andamento nel tempo della quantità estratta, ovvero consumata, anche in presenza della scoperta di un nuovo favoloso giacimento, "El Oleado", di entità pari alle riserve totali stimate inizialmente. Sono indicati i livelli di esaurimento al 90% e al 99% nei due casi.

Nota

Questo ragionamento è una dimostrazione concettuale, non un modello realistico. Evidentemente non sono considerati vari elementi importanti, come la distribuzione geografica della risorsa, la dinamiche economiche, finanziarie e militari, e l'accessibilità della risorsa (l'ultimo petrolio è più difficile e caro da estrarre del primo). In particolare, i tempi indicati qui vanno presi come un esempio e non come una previsione. Quel che rimane valido è il concetto conclusivo: eventuali nuove scoperte di risorse non rinnovabili non possono, di per sé, determinare un sostanziale allungamento dei tempi di esaurimento.